Раздел математики занимающийся изучением целых чисел и их свойств называется теория чисел или высшая арифметика.

Среди целых чисел особое место занимают натуральные числа, которые можно разделить на два класса: простые и составные. К первому классу относятся числа, имеющие своими делителями два числа: единицу и само себя. Ко второму классу относятся все остальные числа.

Простые числа, их свойства и связь со всеми натуральными числами изучались Евклидом (3 век до нашей эры). Он считал, что любое число натурального ряда может быть единственным образом представлено как произведение простых чисел. В «Началах» Евклид указал способ нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел, следствием из которого является теорема об однозначном разложении натуральных чисел на простые сомножители. С понятием наименьшего общего делителя двух чисел связано понятие их наименьшего общего кратного (НОК).

К теории чисел также относится вопрос о целочисленных решениях различных видов уравнений.


офантово уравнение вида aX + bY = c, где a,b,c — целые числа, X и Y — неизвестные числа, является простейшим уравнением в целых числах. Если c делится на НОД(a,b), то уравнение имеет целочисленные решения. В этом случае с помощью алгоритма Евклида находится решение уравнения aX + bY = 1, из которого потом получаются все решения диофантова уравнения. Если же с не делится на НОД(a,b), то исходное уравнение не имеет решений в целых числах. Другим целочисленным уравнением является уравнение X2+Y2=Z2 (уравнение Пифагора). Вавилонским математикам было известно, что оно имеет бесконечное множество решений, а древнегреческий математик Диофант (около 250 года нашей эры) описал способ нахождения всех решений данного уравнения.

Большой вклад в развитие теории чисел внес Пьер Ферма (1601-1665), которому принадлежат открытия связанные с теорией делимости целых чисел, и теорией диофантовых уравнений. Им было сформулировано утверждение о «невозможности» — Великая теорема Ферма, доказана Малая теорема Ферма, которая в дальнейшем была обобщена Л. Эйлером. В феврале 1657 года Ферма предложил найти общее правило решение уравнения Пелля ax2 + 1 = y2 в целых числах. Решение этого уравнения для a = 2 было описано Евклидом в «Началах», а полное решение найдено Эйлером в 1759 году.

В 18 веке Л. Эйлер (1707-1783) первым из математиков стал создавать общие методы и применять другие разделы математики к решению задач теории чисел. Применение методов математического анализа положили начало аналитической теории чисел, в которой важное место занимают методы тригонометрических сумм, позволяющие оценивать число решений уравнений или систем уравнений в целых числах.


В аналитической теории чисел так же применяется комплексный анализ для доказательства теоремы о распределении простых чисел. Однако остается открытым вопрос, существует ли бесконечно много пар «простых близнецов», т. е. простых чисел разность, между которыми равна двум, например, 17 и 19 или 101 и 103.

Аналитические методы широко применяются и в аддитивной теории чисел, в которой изучается разложение натуральных чисел на слагаемые определённого вида: представление числа в виде суммы простых чисел, суммы двух квадратов (об этих вопросах упоминалось ранее) и т.д., представление в виде четырех квадратов, девяти кубов и т.д. Так же к этому разделу теории чисел относится проблема Варинга представления числа N в виде суммы k слагаемых, каждое из которых есть n степень натурального числа , т.е N = a1n + … + akn, где k зависит только от n.

Алгебраическая теория чисел расширяет понятие числа. Здесь рассматриваются алгебраические целые числа, корни многочленов с рациональными коэффициентами и старшим членом равным единице.

Элементарная теория чисел изучает целые числа без использования методов других разделов математике. Здесь рассматриваются такие вопросы как делимость целых чисел, числа Фибоначчи, построение магических квадратов, алгоритм нахождения наименьшего общего делителя и наибольшего общего кратного, малая теорема Ферма.


Многие вопросы теории чисел легко сформулировать, но трудно доказать, а ряд вопросов остаются открытыми, например, еще не найдена формулы по которой выводятся все простые числа. Великая теорема Ферма, сформулированная в 1637 году, оставалась без доказательства более 3 столетий и была доказана Уалсом в 1995 году.

1. История

Теория чисел происходит из далекого прошлого, вавилонская глиняная табличка Plimpton 322 (18 в. до н.э.) содержит список целых решений уравнения \ Scriptstyle a ^ 2 + b 2 = c ^ 2 , Позже названных пифагоровых тройками, числа в ней достаточно большие, чтобы быть найденными простым перебором.

1.1. Древняя Греция

Весомый вклад в становление теории чисел оказали пифагорейцы, Евклид и Диофант.

Часть книги Евклида Начала посвящена простым числам и делимости чисел, в частности он разработал алгоритм нахождения наибольшего общего делителя двух чисел ( алгоритм Евклида) и доказал бесконечность множества простых чисел. Вопрос о простые числа, со времен Евклида и по сей день, составляют одну из ведущих тем в теории чисел.

Диофант Александрийский, в отличие от всех предыдущих математиков древней Греции, что решали задачи классической алгебры описывая их геометрически, использовал алгебраические сроки для задач, которые теперь относятся к алгебраической геометрии. За что вошел в историю математики как «отец алгебры». В своем труде «Арифметика», он перечисляет проработаны задачи по нахождению рациональных решений для систем полиномних уравнений. Теперь такие уравнения называются диофантовых.



1.2. Средневековье

В работах Ариабхаты встречается аналог алгоритма Евклида. Брамагупта изучал Диофантом уравнений второй степени, в частности уравнение, которое позже назвали уравнения Пелля.

Китайские математики известны своей теоремой об остатках, для доказательства которой требуется алгоритм Евклида.

Многие произведения греческих и индийских математиков были переведены на арабский, в том числе «Арифметика» Диофанта и «Брама-спхута-сиддханта» Брамагупты. Это дало начало математике в арабских странах.

В Европе, за исключением работы Фибоначчи о квадраты в арифметических прогрессиях, работы по теории чисел стали появляться только в период позднего Ренессанса после перевода «Арифметики» Диофанта на латынь.


1.3. Ферма

Пьер Ферма (1601-1665) тщательно изучал «Арифметику» Диофанта, сначала его заинтересовали совершенные и дружественные числа, а затем Диофантом уравнения.

Работы Ферма в теории чисел включает:


  • Малую теорему Ферма : если a не делится на простое число p, тогда \ Scriptstyle a ^ {p-1} \ equiv 1 \ pmod p.
  • Теорема Ферма о сумме двух квадратов : если a и b взаимно просты, то \ Scriptstyle a ^ 2 + b ^ 2 не делится ни на какое простое число, равно -1 по модулю 4. Произвольное простое число равно 1 по модулю 4 может быть записано в форме \ Scriptstyle a ^ 2 + b ^ 2.
  • формулировки Великой теоремы Ферма (1637): нет развязки в целых числах уравнения \ Scriptstyle x ^ n + y ^ n = z ^ n для всех \ Scriptstyle n \ geq 3. Ферма привел доказательства для случая \ Scriptstyle x ^ {4} + y ^ {4} = z ^ {4}.

Попытки доказать великую теорему Ферма оказались чрезвычайно плодотворными для развития теории чисел, они привели к возникновению алгебраической теории чисел и, в определенной степени, абстрактной алгебры.


1.4. Эйлер

Леонард Эйлер (1707-1783) начал интересоваться теорией чисел через задачи, сформулированные Ферма.

Работы Эйлера в теорию чисел включает:


  • Наведение доказательство для многих задач сформулированных Ферма и их обобщения.
  • Доказательство великой теоремы Ферма для случая \ Scriptstyle x ^ {3} + y ^ {3} = z ^ {3}.
  • Связь между уравнением Пелля и цепными дробями.
  • Начала аналитической теории чисел: сумма четырех квадратов, разбиение числа, пятиконечные числа, распределение простых чисел.
  • Нашел порт между диофантовых уравнениями и эллиптическими интегралами.


1.5. Лагранж, Лежандр, Гаусс

Лагранж (1736-1813) первым обобщил работы Ферма и Эйлера, от изучения уравнения Пелля он перешел к квадратичных форм.

Лежандр (1752-1833) сформулировал квадратичный закон взаимности, доказал великую теорему Ферма для \ Scriptstyle n = 5.

Гаусс (1777-1855) в своей книге Disquisitiones Arithmeticae (1798) доказал закон квадратичной взаимности, завершил разработку теории квадратичных форм, ввел обозначения для равенства чисел по модулю, разработал тесты простоты.


1.6. Современная теория чисел

Работы Галуа, Дирихле, Римана и многих других продемонстрировали производительность аналитического направления в решении теоретико-числовых вопросов.

Для нужд теории чисел были теперь использовались такие современные разделы математики как: комплексный анализ, теория групп, теория Галуа.


2. Избранные проблемы теории чисел


Одна из привлекательных черт теории чисел — это огромное количество обманчиво простых вопросов, которые в то же время принадлежат к самым глубоким в математике. Это означает, что любое заинтересованное в математике человек может выйти с новой и привлекательной проблемой, формулировка которой не требует специальных знаний, и начать исследования по ней, получая предварительные результаты, но может случиться, что полный ответ неизвестна и требует совершенно новых идей, а часто и методов из совсем других областей математики, порой приводя к возникновению целого раздела математики.

Немало вопросов теории чисел остаются открытыми на протяжении веков (например, великая теорема Ферма), и даже тысячелетий (см. проблема конгруэнтных чисел). Это особенно касается вопросов о простые числа. К тому же, любая уже решена проблема теории чисел с небольшим изменением условий ведет к новым, которые могут как намного легче, так и намного тяжелее исходное вопрос. В этом можно убедиться просмотрев следующую таблицу, в которой приведены некоторые из многих известных проблем теории чисел, в равной степени увлекали, и до сих пор восхищают, и любителей, и огромных мыслителей от глубокой античности и по настоящее время.


Проблема Описание Комментарий
Произвольно большие простые числа. Существуют произвольно большие простые числа? Как их найти? Евклид доказал существование бесконечного количества простых чисел. Эратосфен предоставил метод проверки на простоту с помощью решета Эратосфена. Эффективные методы генерации больших простых чисел составляют чрезвычайно большой интерес криптографии. В 2002 г. Агравал-Кайал-Саксена доказали, что проверка на простоту может быть выполнена с полиномиальное время.
Факторизация целых чисел. Разложить данное целое число в произведение простых. Благодаря запросам по криптографии, разработано немало методов, но неизвестно, существует алгоритм факторизации по полиномиальное время. Шор изобрел такой алгоритм для квантового компьютера.
Совершенные числа Совершенное число равно сумме собственных делителей, n = \ sigma (n)-n. Наименьшие совершенные числа: 6 = 1 +2 +3 и 28 = 1 +2 +4 +7 +14.

Найти все четные совершенные числа. Существуют нечетные совершенные числа?

Эйлер доказал, что любое четное совершенное число имеет вид

n = 2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1), где 2 ^ {p} -1 — простое число Мерсенна. Неизвестно, конечное множество Мерсеннових простых. Неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа, но доказано, что если это так, то они должны быть очень большими.
Дружественные числа. Два числа — дружеские, если каждое из них равно сумме делителей другого, \ Sigma (A) = A + B = \ sigma (B), например, (220, 284), открытие которых приписывается Пифагору.

Предоставить формулы для нахождения дружественных чисел. Существуют нечетные дружественные числа?

Табит ибн Курри предоставил в 9 ст. правило для нахождения дружественных чисел, которое было переоткрыто Ферма и Декартом и обобщенно Ейлером, який також знайшов непарні дружні числа. Невідомо, чи існує нескінченна кількість дружніх чисел, але Боро висунув гіпотезу, що це так, і підтримав її обширними обчисленнями за допомогою комп’ютера.
abc гіпотеза Невідомо. Із abc гіпотези випливає велика теорема Ферма.
Гіпотеза Гольдбаха. Будь-яке парне натуральне число n\geq 4 є сумою двох простих. Невідомо. Восьма проблема Гільберта.
Постулат Бертрана. Для будь-якого

n\geq 2 існує принаймні одне просте число між n и 2n.
Доведений Чебишевим елементарними методами. В аналогічному питанні про існування простого між n^2 и (n+1)^2 (гіпотеза Лежандра) очікується позитивна відповідь, але це ще не доведено.
Формула для простих чисел. Знайти формулу, яка надаватиме прості числа. Ейлер знайшов поліном p(n)=n^2+n+41, всі значення якого для 0\leq n\leq 39 — прості. Загальна відповідь невідома, але вважається, що точної формули не існує. Поліном Матіясевича (від багатьох змінних) має властивість, що всі його додатні значення є простими.
Закон розподілу простих чисел. Знайти кількість \pi(n) простих чисел, менших за n. Асимптотична форма закона \pi(n)\sim\frac{n}{\ln(n)} доведена Адамаром і Ле Валле-Пуссеном за допомогою комплексного аналізу, а також Ердьошем і Сельбергом елементарними методами. Ріман відкрив явну формулу для \pi(n) через нулі дзета-функції \zeta(s).
Гіпотеза Рімана. Дійсна частина будь-якого нуля ріманової дзета-функції \zeta(s) у смузі 0<Re(s)<1 належать до прямої Re(s)=\frac{1}{2}. Невідомо. Одна з проблем тисячоліття.
Прості числа-близнюки. Скінченна чи нескінченна множина пар простих чисел вигляду n\pm 1 ? Невідомо. Але на відміну від всіх простих, ряд \sum{\frac{1}{p}}, розповсюджений на прості-близнюки, збігається. Також невідомо, чи скінченна множина простих Софі Жермен.
Арифметичні прогресії простих чисел. Чи існує нескінченно багато простих чисел вигляду an+b, где a,b — дані взаємно прості числа?

Чи існує арифметична прогресія, яка складається виключно з простих чисел і довжина якої перевищує довільно велике натуральне число?

За теоремою Діріхле про прості в арифметичних прогресіях, доведенною у 19 ст., відповідь на перше питання — так.

Друге питання розв’язано у 2004 г. Беном Гріном і Теренсом Тао, і відповідь — так.

Трансцендентні числа Чи існують числа, які не задовільняють жодному алгебраїчному рівнянню з раціональними коефіцієнтами, трансцендентні числа ? Алгебраїчні чи трансцендентні числа e,\pi,\ln 2, \sqrt{2}^{\sqrt{2}}? Перші трансцендентні числа знайшов Ліувілль за допомогою діофантових наближень. Трансцендентність e доведена Ермітом, а \pi — Ліндеманном. З теореми Ліндеманна випливає неможливість квадратури круга. Трансцендентність a^b, где a\ne 0,1 — алгебраїчне число і b — дійсне ірраціональне число доведена Гельфондом і Шнайдером.
Піфагорові трійки. Знайти всі трійки a,b,c цілих чисел, для яких виконується a^2+b^2=c^2. Розв’язано за античних часів.
Велика теорема Ферма. Уравнение a^n+b^n=c^n с n\geq 3 не має розв’язків у цілих числах a,b,c\ne 0. Одна з найвпливовіших проблем в історії математики. Ферма навів доведення для n=4 і стверджував, що знайшов доведення у загальному випадку, яке або ніколи не існувало, або було втрачено. В 19 в. докладно досліджена, напередусім, Куммером, який довів її для всіх n менших за 100 за допомогою вивчення однозначності факторизації у циклотомічних полях.

Майже за 350 років після Ферма, у 1994 р. остаточно доведена Ендрю Вайлсом, який задля цього довів окремі випадки гіпотези Таніями-Шимури.

Рівняння Пелля. Знайти всі розв’язки рівняння x^2-dy^2=1 у цілих числах. Розв’язано індійськими математиками, і незалежно і пізніше — європейськими. Якщо замінити праву частину на -1, ще й досі невідомо, для яких d існуватиме розв’язок.
Представлення цілих чисел сумами квадратів. Визначити умови, за яких дане натуральне число n є сумою k квадратів і надати формулу для кількості представлень. Критерій представлення сумою двох квадратів було сформульовано Ферма і доведено Ейлером, для трьох квадратів маємо результат Гауса. По теоремою Лагранжа (18 ст.), будь-яке натуральне число є сумою чотирьох квадратів.

Питання кількості представлень вивчалося багатьма видатними математиками (Гаус, Якобі, Мінковський, Рамануджан), але повна відповідь відома лише для спеціальних значень k=2,4,8,24 та декількох інших. У 2005 р. Конен і Імамоглу досягли часткової відповіді для парних k.

Розв’язання довільних діофантових рівнянь. Знайти алгоритм для з’ясування того, чи має дане діофантове рівняння розв’язки у цілих числах (десята проблема Гільберта). Неможливість існування такого алгоритму доведена Матіясевичем. Для довільного алгебраїчного числового поля, питання залишається відкритим (2007 р.).
Квадратичний закон взаємності Гауса. Если p\ne q — прості числа, то виконується \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{2}}, где символ Лежандра \left(\frac{p}{q}\right) дорівняє 1, якщо ціле p — квадрат (\operatorname{mod}\, q), и -1 в іншому випадку. Гаус надав принаймні шість доведень свого закону. Певні узагальнення на алгебраїчні числові поля було отримано Е.Артіном і Шафаревичем, але найбільш загальний закон взаємності ще досі не знайдено (дев’ята проблема Гільберта), хоча його існування випливає з гіпотез Ленглендса.
Однозначність факторизації цілих алгебраїчних чисел. Чи виконується у кільці R=\Z[\zeta], \zeta=e^{\frac{2\pi i}{n}} цілих циклотомічних чисел однозначність факторизації на прості множники? Те саме питання для цілих алгебраїчних чисел у квадратичному полі \mathbb{Q}[\sqrt{D}].
Спеціальні значення \zeta(m), m\in\mathbb{Z}. Знайти суму ряда \zeta(m)=\sum\frac{1}{n^m} для цілих значень m. Эйлер точно вычислил \ Zeta (m) в положительных четных точках и отрицательных нечетных точках, доказав, что \ Zeta (2k) / \ pi ^ {2k} и \ Zeta (1-2k) — Рациональные числа (рассмотрение значений \ Zeta (1-2k) требует надлежащего обоснования, так как ряд не совпадает!) Эти результаты Эйлера неоднократно обобщались и совершили огромное влияние на дальнейшее развитие теории чисел. Точное значение \ Zeta (3) не найдено, но в 1978 г. АПЕР элементарными методами доказал его иррациональность. Неизвестно, рациональные \ Zeta (2k +1), k \ geq 2.
Арифметические свойства коэффициентов аналитических функций. Исследовать арифметические свойства коэффициентов Фурье модулярных форм, например формы Рамануджана \ Delta = q \ prod_ {k \ geq 1} (1-q ^ k) ^ {24} = \ sum_ {n \ geq 1} \ tau (n) q ^ n. Рамануджан нашел, но не довел, немало свойств функции \ Tau (n), например ее мультипликативность: \ Tau (mn) = \ tau (m) \ tau (n), если m, n — взаимно-простые числа. Это было доказано Морделом и обобщены Гекке. До сих пор неизвестно, может \ Tau (n) равен нулю (гипотеза Лемера).

Коэффициенты мероморфных модулярных функций, таких как модулярных инвариант

j = q ^ {-1} +744 +196884 q + \ ldots,

совершенно неожиданно представились связанные с наибольшей спорадической конечной простой группой Монстром. Часть этого monstrous moonshine доказал Борчердс.

Kronecker’s Judentraum Кронекер и Вебер доказали, что любое конечное абелева расширения поля \ Mathbb {Q} рациональных чисел — циклтомичне, т.е. находится в поле \ Mathbb {Q} (\ exp (2 \ pi i / n)), построенном присоединением значений экспоненциальной функции.

Найти функции, с помощью которых можно построить абелевы расширения произвольного числового поля \ Mathbb {K}. (Двенадцатая проблема Гильберта).

Если заменить рациональные числа на гауссовские числа, или, более общим образом, произвольное мнимое квадратичное поле \ Mathbb {Q} (\ sqrt {D}), D <0, то за теорией комплексного умножения надлежащие функции — это модулярные функции тесно связаны с модулярным инвариантом j. Известны еще некоторые обобщения (Шимура, Мазур-Уайлс), но вообще проблема остается открытой.
Гипотеза Морделла. Уравнение f (x, y) = 0, где f (x, y) — Полином с рациональными коэффициентами и род соответствующей алгебраической кривой больше единицы, имеет лишь конечное множество решений в рациональных числах. «Общий» полином степени четыре и выше удовлетворяет условию гипотезы. Для степени две проблемы была предварительно решена Лежандром : решений или вообще не существует, или бесконечно много, и есть простой критерий, который отличает эти случаи. Для степени три получаем эллиптическую кривую, для которых вопрос конечности или бесконечности числа решений до сих пор изучаются. Гипотеза Морделла была доказана в 1982 г. Фальтингсом.
Гипотезы Вейля. Локальная дзета-функция Z (t) гладкого алгебраического многообразиях над конечным полем является рациональной функцией переменной t, для которой выполняется функциональное уравнение типа дзета-функции Римана и аналог гипотезы Римана. Рациональность дзета-функции доказана Гротендиком и Дворко, а гипотеза Римана — Делинем.

Из этих результатов вытекают явные формулы и оценки для числа точек на алгебраическом многообразия над конечным полем, широко применятся в конструкции алгебраически-геометрических кодов и алгоритмах факторизации целых чисел.

Гипотеза Таниямы-Шимуры. Любая эллиптическая кривая над \ Mathbb {Q} является модулярной. Доказана Эндрю Уайлс вместе с его учениками и сотрудниками. Работа Уайлс привела к окончательному решению великой теоремы Ферма.


3. Разделы теории чисел

Теорию чисел условно разделяют по методам исследований на следующие разделы.

3.1. Элементарная теория чисел

В элементарной теории чисел, целые числа изучающих без использования методов по высшей математике. К этому разделу относятся такие вопросы, как делимость целых чисел, алгоритм Евклида вычисления наибольшего общего делителя, разложение числа на простые множители, совершенные числа, малая теорема Ферма, теорема Эйлера.


3.2. Алгебраическая теория чисел

Алгебраическая теория чисел расширяет понятие числа. Алгебраическое число — это корень многочлена с рациональными коэффициентами. Место целых занимают цели алгебраические числа, то есть корни многочленов с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1. Поля алгебраических чисел называются Алгебраическими числовыми полями или сокращенно числовыми полями.

В отличие от целых, среди алгебраических чисел закон однозначности разложения на простые множители может и не выполняться.

Простейшие числовые поля — квадратичные поля, были изучены еще Гауссом в теории квадратичных форм. Их можно описать через идеалы и нормы.

Изучение идеальных чисел узагальнилось в теорию идеалов, начатую Кумером и Дедекиндом.


3.3. Аналитическая теория чисел

Раздел теории чисел, использующий методы математического анализа. Примером является применение комплексного анализа для доказательства теоремы о распределении простых чисел с использованием дзета-функции Римана.

Также проблемами аналитической теории чисел являются: гипотеза Гольдбаха, проблема Уоринга, гипотеза Римана. Важным инструментом аналитической теории чисел является теория модулярных форм.


3.4. Геометрическая теория чисел

См.. также

  • Открытые математические вопросы

Теория чисел: теория и практика

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.

Adblock
detector